ศูนย์รวมความรู้

กระทรวงเทคโนโลยี
สารสนเทศและการสื่อสาร

รายละเอียดแนวทางการพัฒนากิจการอวกาศ
ของประเทศไทย
 


หน่วยงานในสังกัดกระทรวงไอซีที












<< เชื่อมโยงเว็บไซต์ >>

  หน้าหลัก \ ศูนย์รวมความรู้

    ศูนย์รวมความรู้

โดย สมภพ ภูริวิกรัยพงศ์
คณะวิศวกรรมศาสตร์ มหาวิทยาลัยเทคโนโลยีมหานคร 51 ถนนเชื่อมสัมพันธ์ เขตหนองจอก กรุงเทพ 10530
โทร 02-988-3655, 02-988-3666 โทรสาร 02-988-4040 E-mail: [email protected]


จากบทความเรื่องวงโคจรเบื้องต้น เราได้ศึกษาสมาชิกวงโคจร (COE : classic orbital elements) ของดาวเทียมไปแล้ว อย่างไรก็ตาม ในทางปฏิบัติจริงเราไม่สามารถหาค่าสมาชิกวงโคจรดังกล่าวได้โดยตรง แต่เนื่องจากเราสามารถทราบค่าตำแหน่ง และความเร็วของดาวเทียม ณ เวลาหนึ่งๆ ได้ (อธิบายโดยเวคเตอร์ และเวคเตอร์ ตามลำดับ) โดยการใช้สถานีติดตามบนพื้นโลกทำการติดตามดาวเทียมดวงนั้นๆ

ทั้งนี้ในศาสตร์การคำนวณทางพีชคณิตนั้น เวคเตอร์ และ ต่างก็ประกอบด้วยสมาชิก 3 ตัว (ในแนวแกน x y และ z) ดังนั้นจึงมีความเป็นไปได้ที่เราจะแปลงค่าตำแหน่ง และความเร็ว ให้เป็นค่าสมาชิกวงโคจรทั้ง 6 ค่าได้ ซึ่งการทราบทั้ง 6 ค่าดังกล่าวแล้ว จะส่งผลให้เราสามารถวาดภาพวงโคจรของดาวเทียมทั้งวงได้

การหาค่ากึ่งแกนเอก (a : semimajor axis)
จากที่เราทราบมาแล้วว่าค่ากึ่งแกนเอก (a) นั้นบอกเราให้ทราบถึงขนาดวงโคจรของดาวเทียม ทั้งนี้ค่า a นี้จะขึ้นอยู่กับค่าพลังงานเชิงกลจำเพาะ (ε) ของวงโคจร ดังนั้นถ้าเราทราบพลังงานของวงโคจรดังกล่าวแล้ว เราก็สามารถหาค่า a ได้ตามสมการ

... (1)

โดยที่
V   เป็นขนาดของเวคเตอร์ความเร็วดาวเทียม (km/s)
µ   เป็นพารามิเตอร์ความโน้มถ่วง (km3/s2) โดยมีค่าประมาณ 3.986 x 105 สำหรับโลก
R   เป็นขนาดของเวคเตอร์ตำแหน่ง (km)

จากการที่เราทราบว่า ค่า ε มีความสัมพันธ์กับ a ตามสมการ ε = - µ / 2a ดังนั้นถ้าเราทราบขนาดของเวคเตอร์ความเร็วและตำแหน่งแล้ว เราก็สามารถที่จะหาค่า a ได้ตามสมการ

... (2)

เมื่อเราคำนวณค่ากึ่งแกนเอกของวงโคจรดาวเทียมได้แล้ว เราสามารถตรวจสอบค่าดังกล่าวได้อย่างง่ายๆ โดยพิจารณาว่าค่ากึ่งแกนเอกดังกล่าวนั้น ควรที่จะมีค่ามากกว่ารัศมีของดาวเคราะห์ที่ดาวเทียมดวงนั้นโคจรรอบอยู่ แต่ถ้าค่ากึ่งแกนเอกที่คำนวณได้มีค่าน้อยกว่ารัศมีของดาวเคราะห์แล้ว จะเป็นการบ่งชี้ว่าเราน่าจะคำนวณอะไรบางอย่างผิด เนื่องจากการที่ค่ากึ่งแกนเอกมีค่าน้อยกว่ารัศมีของดาวเคราะห์แสดงถึงดาวเทียมโคจรภายในดาวเคราะห์ (หรือพุ่งเข้าชนดาวเคราะห์) ซึ่งไม่น่าจะเป็นไปได้

การหาค่าความรี (e : eccentricity)
ในการหาค่าความรี (e) นั้น จำเป็นที่เราจะต้องกำหนดเวคเตอร์ความรี ( ) ขึ้น ทั้งนี้เวคเตอร์ เป็นเวคเตอร์ที่ชี้จากจุดศูนย์กลางโลกไปยังจุดใกล้โลกที่สุด (perigee) ซึ่งขนาดของเวคเตอร์ ก็คือค่าความรี e นั่นเอง

เวคเตอร์ มีความสัมพันธ์กับเวคเตอร์ตำแหน่ง และเวคเตอร์ความเร็ว ตามสมการ

... (3)

โดยที่
  เป็นเวคเตอร์ความรี ชี้จากจุดศูนย์กลางโลกไปยังจุดใกล้โลกที่สุด
µ   เป็นพารามิเตอร์ความโน้มถ่วง (km3/s2) โดยมีค่าประมาณ 3.986 x 105 สำหรับโลก
V   เป็นขนาดของเวคเตอร์ความเร็วดาวเทียม (km/s)
R   เป็นขนาดของเวคเตอร์ตำแหน่ง (km)

รูปที่ 1 เวคเตอร์ความรี ชี้จากจุดศูนย์กลางโลกไปยังจุดใกล้โลกที่สุด (perigee)
ที่มา Seller, J.J., Understanding Space

จากภาพข้างต้น ในการหาเวคเตอร์ความรี ( ) ของวงโคจรตามสมการ (3) จำเป็นที่เราจะต้องทราบค่าของ µ พร้อมกับค่าเวคเตอร์ตำแหน่ง และเวคเตอร์ความเร็ว จากนั้นทำการคำนวณหาค่าความรี (e) ได้จากขนาดของเวคเตอร์ความรี อีกทีหนึ่ง

เวคเตอร์ความรี ( ) ที่เรากำหนดขึ้นนี้จะถูกใช้ในการคำนวณหาค่าสมาชิกวงโคจรตัวอื่นๆ ด้วย อย่างไรก็ตาม เราควรจะต้องระมัดระวังว่าวงโคจรที่เป็นแบบวงกลมนั้น (circular orbit) จุดใกล้โลกที่สุดจะไม่ปรากฏขึ้น ซึ่งจะมีผลให้เราไม่สามารถกำหนดเวคเตอร์ความรีสำหรับวงโคจรแบบวงกลมได้

การหาค่าความเอียงของระนาบวงโคจร (i : inclination)
เราได้กล่าวถึงสมาชิกวงโคจรดาวเทียมไปแล้วสองค่า ได้แก่ค่ากึ่งแกนเอก (a) และค่าความรี (e) สำหรับอีก 4 ค่าที่เหลือนั้นล้วนแล้วเป็นค่ามุมทั้งสิ้น ดังนั้นก่อนที่จะหาค่าทั้งสี่ที่เหลือ จำเป็นที่จะต้องทำความเข้าใจในกฎทางคณิตศาสตร์ที่เรียกว่า ผลคูณจุดของเวคเตอร์ (vector dot product) ซึ่งจะช่วยทำให้เราหาค่ามุมได้ถ้าเราทราบเวคเตอร์ทั้งสองที่ทำมุมกันอยู่อย่างไร

รูปที่ 2 เวคเตอร์สองเวคเตอร์ทำมุมกันอยู่ θ
ที่มา Seller, J.J., Understanding Space

จากรูปที่ 2 ผลคูณจุดของเวคเตอร์ และ แสดงได้ตามสมการ

... (4)

โดยที่ A และ B เป็นขนาดของเวคเตอร์ และ สำหรับ θ เป็นมุมที่ระหว่างเวคเตอร์ทั้งสอง

ค่ามุม θ สามารถคำนวณหาได้ตามกฎของตรีโกณมิติ

... (5)

อย่างไรก็ตาม โดยทั่วไปแล้วการคำนวณค่าผกผันของฟังก์ชันตรีโกณมิติมักจะมีความกำกวมในคำตอบที่ได้ ในกรณีนี้ก็เช่นกัน เราจะพบว่ามีค่าคำตอบของ ที่เป็นไปได้อยู่สองค่า ได้แก่ค่า θ เอง และ (360° - θ ) ดังอธิบายในเชิงกายภาพได้ตามรูปที่ 3

รูปที่ 3 ค่าผกผันของฟังก์ชันตรีโกณมิติให้คำตอบที่เป็นไปได้สองค่า
ที่มา Seller, J.J., Understanding Space

เมื่อพิจารณาย้อนกลับไปในเรื่องวงโคจรดาวเทียม (ในเรื่องการอธิบายวงโคจรของวัตถุอวกาศ ตอนที่ 2) มุมความเอียงของระนาบวงโคจรได้ถูกอธิบายว่าเป็นมุมระหว่างเวคเตอร์หนึ่งหน่วย (ในทิศขั้วโลกเหนือของระบบพิกัด IJK) และ เวคเตอร์ ที่ตั้งฉากกับระนาบวงโคจร (ตามกฏมือขวา) แสดงได้ในรูปที่ 4

รูปที่ 4 มุมความเอียงของระนาบวงโคจร (i )
ที่มา Seller, J.J., Understanding Space

จากรูปที่ 4 เราสามารถคำนวณค่ามุม i ได้ตามสมการ

... (6)

โดยที่ เป็น เวคเตอร์โมเมนตัมเชิงมุมจำเพาะ (= x) ตั้งฉากกับระนาบวงโคจร (ตามกฎมือขวา)

K และ h เป็นขนาดของเวคเตอร์ และเวคเตอร์ ตามลำดับ

เนื่องจากขนาดของเวคเตอร์ มีค่าเท่ากับหนึ่ง (K ≡ 1 ) ดังนั้นส่วนของสมการ (6) จึงมีค่าเท่ากับ h เท่านั้น สำหรับเทอมผลคูณจุด นั้นจะมีค่าเท่ากับองค์ประกอบของเวคเตอร์ ในแนวแกน K เท่านั้น เนื่องจากขนาดของเวคเตอร์ มีค่าเท่ากับหนึ่งเช่นกัน

หลายท่านอาจจะสับสนว่าเราจะต้องตรวจสอบว่าในการหาคำตอบตามสมการ (6) ที่ถูกต้องนั้นจำเป็นที่จะต้องตรวจสอบจตุภาคหรือไม่ ซึ่งในกรณีนี้คงไม่จำเป็น เนื่องจากค่าของมุมความเอียงของระนาบวงโคจรจะมีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับ 180 องศา

แหล่งข้อมูลอ้างอิง

แก้ไขล่าสุด 10 มกราคม 2551

กลับไปด้านบน


copyright © 2016 กองโครงสร้างพื้นฐานเทคโนโลยีดิจิทัล สำนักงานคณะกรรมการดิจิทัลเพื่อเศรษฐกิจและสังคมแห่งชาติ กระทรวงดิจิทัลเพื่อเศรษฐกิจและสังคม
ชั้น 7 อาคาร B ศูนย์ราชการเฉลิมพระเกียรติ 80 พรรษา 5 ธันวาคม 2550 ถนนแจ้งวัฒนะ แขวงทุ่งสองห้อง เขตหลักสี่ กรุงเทพฯ 10210
โทรศัพท์ 0-2141-6877 โทรสาร 0-2143-8027 e-mail: [email protected]